多复变函数论笔记 - 第一章 全纯函数 - 第一节 复欧氏空间

符号简述#

和 分别表示实数域和复数域， 和 分别表示整数和非负整数， 表示正整数。

定义#

对 ，定义 个复平面的笛卡尔积为 维复数空间

其具有自然的 维复向量空间结构。 上的标准 Hermite 内积为

该内积产生的范数 诱导出了 中的欧氏距离

为与一维复空间的 书写形式统一，对 ，也记 。

与 R²ⁿ 的联系#

定义以 为圆心， 为半径的开球为

设 ，记 ，则映射

是 到 的一个实线性同构，且对 上的 L-2 范数有 ，所以 为 上以 为圆心， 为半径的开球，即 与 拓扑同胚。

由此可将 中的拓扑、分析的通常概念替换到 中。

基础概念#

• 开集：设 为一点集，若 ，，使得 ，则称 为开集。

• 连通集：设 为一点集，若 不能表示为两个非空开集之并，则称 是连通的。

• 区域：连通的开集。

• 相对紧子集：设 为一子集，若其闭包 ，则称 为 的一个相对紧子集，记为 。

• 多圆柱：

  定义以 为圆心， 为（多）半径的开多圆柱为

  其为 中 个开圆盘的笛卡尔积。

• 多圆域：

  更一般地，称 个复平面区域 的笛卡尔积 为一个多圆域。

点集 的拓扑边界记为

绝对空间#

称映射 为绝对空间， 中点集在绝对空间下的像可更为方便地用几何表示。

例如，容易画出 和 在绝对空间的图形如下：

Hartogs 图形#

当 时，为简化书写，通常记 ，其中 。

设 满足 ，定义区域

则 的图形可表示如下：

称 这样的一个「对」为一个（欧式）Hartogs 图形。

Reinhardt 域#

注意对 而言，

是一个 维的实环面¹。因此有如下定义：

设 为一点集，若 ，环面

也落在 内，则称 是圆形的。在 中，只有圆形点集的绝对空间表示才是有意义的。

设 为以原点为中心的开圆形域，则称 为 Reinhardt 域。若 还满足 ，均有 ，则称 是完备的。 和 是完备的 Reinhardt 域，但是 是不完备的 Reinhardt 域。

考虑全纯函数的洛朗级数展开时就会遇到 Reinhardt 域， 中典型的完备 Reinhardt 域是以原点为圆心的开圆盘，而典型的不完备 Reinhardt 域是以原点为圆心的圆环区域。