多复变函数论学习笔记 - 第一章全纯函数 - 第二节 Cauchy-Riemann 方程组

多重指标记号

定义如下多重指标记号：

设，，记

记为，。
记

$≔$

复值连续可微空间

对开集与，表示在内次连续可微的的复值函数全体，并记。

设，，定义在上的范数为记 $≔$ ， $≔$ ，空间关于范数是完备的，即为 Banach 空间。

类似地，空间 $可连续延拓到$ 关于范数也为 Banach 空间。

偏微分算子

视，由，可引入偏微分算子容易验证

多重指标记号也可扩充到偏微分算子：， $≔$ $≔ ≔$

其具有性质：，，有。

区域上的全纯函数

设为一区域，为一复值函数，若，且满足如下齐次 Cauchy-Riemann 方程组：则称在内全纯。

在单变量的情形下，若一个定义在区域上的复值函数在上任一点的局部均可展开为幂级数，则称在上全纯。多变量情形下，也有类似的全纯函数幂级数定义：

设为一区域，为一复值函数。若对任一点，均存在的一个开邻域，使得， $≔$ 则称在内全纯。上述两个全纯函数定义是等价的。

Hartogs 定理

记为上全体全纯函数的集合。若是中的任意子集（例如紧子集或更为一般的闭集），则表示在包含的某个邻域上的全纯函数的集合。

约定存在的某一邻域，使得。

由全纯函数定义，立得：

定理: 对任何子集，在逐点加法和数乘意义下封闭。任一关于的复系数多项式在上是全纯的，从而在里。若，且，则。

任意满足齐次 Cauchy-Riemann 方程组的函数也分别关于单复变量全纯。反过来，则有如下 Hartogs 定理：

定理 (F. Hartogs, 1906): 设为一区域，。若分别关于每一单复变量全纯，则。

上述定理说明全纯函数定义中的为多余条件。

Hartogs 定理在实变函数论中不成立：设，显然关于均是实解析的，但其在处无界。

Osgood 定理

引理 (Osgood): 设为一区域，。若，且分别关于每一单复变量全纯，则。

证明: 任选一点以及，由于在的邻域内关于每一单复变量全纯，可以重复使用单复变量全纯函数的 Cauchy 积分公式，得对任意均成立。对任意固定点，上式各积分的被积函数均在的紧子集上连续，于是上式的累次积分可替换为重积分注意到对固定的，级数对所有绝对收敛、一致收敛。于是可将级数代入重积分中，并交换求和积分次序，得其中 $≔$ 由任意性可知在上全纯。