多重指标记号#
定义如下多重指标记号：
复值连续可微空间#
对开集 与 ， 表示在 内 次连续可微的的复值函数全体，并记 。
设 ，，定义 在 上的 范数为
记 ≔，≔，空间
关于 范数 是完备的，即 为 Banach 空间。
类似地，空间
可连续延拓到
关于范数 也为 Banach 空间。
偏微分算子#
视 ，由 ，可引入偏微分算子
容易验证
多重指标记号也可扩充到偏微分算子：，
≔
≔≔
其具有性质：，，有 。
区域上的全纯函数#
设 为一区域， 为一复值函数，若 ，且 满足如下齐次 Cauchy-Riemann 方程组：
则称 在 内全纯。
在单变量的情形下，若一个定义在区域 上的复值函数 在 上任一点的局部均可展开为幂级数，则称 在 上全纯。多变量情形下，也有类似的全纯函数幂级数定义：
设 为一区域， 为一复值函数。若对任一点 ，均存在 的一个开邻域 ，使得 ，
≔
则称 在 内全纯。上述两个全纯函数定义是等价的。
Hartogs 定理#
记 为 上全体全纯函数的集合。若 是 中的任意子集（例如紧子集或更为一般的闭集），则 表示在包含 的某个邻域上的全纯函数的集合。
约定 存在 的某一邻域 ，使得 。
由全纯函数定义，立得：
定理:
对任何子集 ， 在逐点加法和数乘意义下封闭。任一关于 的复系数多项式在 上是全纯的，从而在 里。若 ，且 ，则 。
任意满足齐次 Cauchy-Riemann 方程组的函数 也分别关于单复变量 全纯。反过来，则有如下 Hartogs 定理：
定理 (F. Hartogs, 1906):
设 为一区域，。若 分别关于每一单复变量 全纯，则 。
上述定理说明全纯函数定义中的 为多余条件。
Hartogs 定理在实变函数论中不成立：设 ，
显然 关于 均是实解析的，但其在 处无界。
Osgood 定理#
引理 (Osgood):
设 为一区域，。若 ，且 分别关于每一单复变量 全纯，则 。
证明:
任选一点 以及 ，由于 在 的邻域内关于每一单复变量全纯，可以重复使用单复变量全纯函数的 Cauchy 积分公式，得
对任意 均成立。对任意固定点 ，上式各积分的被积函数均在 的紧子集
上连续，于是上式的累次积分可替换为重积分
注意到对固定的 ，级数
对所有 绝对收敛、一致收敛。于是可将级数代入重积分中，并交换求和积分次序，得
其中
≔
由 任意性可知 在 上全纯。
引理 (Schwarz):
记 为复平面上的单位圆盘， 是 上全纯函数且 ，则 ， 且 。若存在 使得 或者 ，则 为一旋转 ，其中 。
定理 (Osgood):
设 为一区域， 局部有界且分别关于每一单复变量 全纯，则 。
证明:
由 Osgood 引理，只需证 。设 ，任取 使得 ，记 ，对任意 有
局部有界，记
≔
为单位圆盘。定义 ，取双全纯映射
令
≔
则 ， 且 ，由 Schwarz 引理，。
取 ，则有
于是
即 局部 Lipschitz 连续。
