定义

  • 重级数： 重复数项级数与以 为中心的 重幂级数定义分别为： ， 以下简称为级数与幂级数。

  • 收敛：若存在双射 使得 收敛，则称级数 收敛。

    若存在双射 使得 收敛，则称级数 绝对收敛。

    若级数绝对收敛，则收敛的极限与级数排列次序 无关。

  • 收敛域：称使得幂级数 收敛的全部 构成的点集的内部 为该级数的收敛域。

Abel 引理

引理 (Abel): 设 ，，且对某个 有 令 ，则

  1. 幂级数 在多圆柱 上收敛。

  2. 上述收敛在以下意义下是正规的：

    若 是一个紧子集， 是任一常数，则存在一个有限集 使得

证明: 给定 ，选取 ，使得 。对 ，由公式 有 其中 。由于 从而结论成立。

推论: 幂级数 的收敛域 是一个（可能为空集）完备的Reinhardt域，且 是所有满足公式 的点 构成的集合的内部。在 内的收敛性是正规的。

导数级数的收敛域

定理: 一个幂级数 ，若它具有非空的收敛域 ，则它定义一个全纯函数 。此外，对任意的 ，导数级数 在 上紧收敛于 ，且有

证明: 选取一个固定的双射 ，则 在 内紧收敛。由于部分和是全纯的，故有 ，且 从而对固定的 和 有 由推论 可知 包含于幂级数 的收敛域。在 中令 即得 。

事实上， 和 具有相同的收敛域。