多复变函数论学习笔记 - 第一章全纯函数 - 第三节多圆柱上的 Cauchy 积分公式

多圆柱上的 Cauchy 积分公式

在单复变函数中，有如下的 Cauchy 积分公式：

定理 (单复变下的 Cauchy 积分公式): 设为一有界域，边界是逐段光滑的，，，则有

在多复变中，没有这样统一的 Cauchy 积分公式，但对某些特殊的区域，如多圆柱，有：

定理 (多圆柱上的 Cauchy 积分公式): 设 $≔$ 为中的多圆柱，其中，。设，，则有其中为的特征边界。

证明: 对复变量个数采用数学归纳法。

时，公式为单复变的单位圆盘上的 Cauchy 积分公式，显然成立。当，且定理对个复变量的情形成立，对固定，在个复变量应用归纳假设，得其中，。对固定的，由的结果有由连续性，将上式代入公式，并将累次积分转为沿上的积分，得证。

推论: 设（或在上有界）且分别关于每一复变量全纯，则有，，且对任意有。

证明: ，，使得，由推论假设，且分别关于每一复变量全纯。对多圆柱应用定理，得上式可在积分号内分别关于求导任意次，所以，。由的任意性得。

定理 (Cauchy 估计): 设，则对任意有其中表示（满足在上 Lebesgue 可积的函数全体构成的赋范空间）上的范数，而 $≔$ 。

证明: 固定，对应用定理并在积分号下求导得由此有令即得公式。

在公式中将积分边界转换为参数形式，两边同乘有由此有即公式。

Cauchy 估计的另一个结果是以下版本的极大模原理：

定理: 设，其中 $≔$ 为上多圆柱，则有

证明: 只需对任意固定证明上式即可。由定理与公式可知存在常数，使得。对任意，，于是有上式右边令，即得。