本文由以前的课程论文使用 pandoc 转换到博客，原文为本人厦门大学数学系课程《微分方程数值解》的课程论文，参考时请注意。

简介

本文默认读者对有限差分方法有一定了解，因此不做过多的前置知识介绍。

考虑如下初值问题: 将 划分为 个等距区间，，我们有以下几种有限差分格式用于求其数值解:

  • 向前欧拉格式
  • 向后欧拉格式
  • 跃点(Leap frog)格式
  • 梯形格式

接下来，对以上四种有限差分格式，我们将进行其准确性(Accuracy)与稳定性(Stability)的数学推导。

准确性推导

首先定义局部截断误差(Local Truncation Error) ，其定义为： 其他点处的精确解在 处按照差分格式计算得到的结果与 处的精确解的差值。

上述局部截断误差与通常定义的局部截断误差相差一个 ，参考时请注意。

向前欧拉格式

向前欧拉格式的局部截断误差 可表示为如下等式 对 进行 Taylor 展开有 于是有 误差 可表示为如下形式： 令 ，对误差 有如下估计：

向后欧拉格式

向后欧拉格式的局部截断误差 可表示为如下等式 对 进行 Taylor 展开有 于是有 误差 可表示为如下形式： 令 ，假定 ，对误差 有如下估计：

跃点格式

跃点格式的局部截断误差 可表示为如下等式 对 和 进行 Taylor 展开有 于是有 误差 可表示为如下形式： 令 ，对误差 有如下估计： 令 ，，则 ，且 . 于是上式可改写为如下形式： 不妨假定上式中的 是由向前欧拉格式得到的，注意到 时 ，于是有

梯形格式

跃点格式的局部截断误差 可表示为如下等式 对 和 进行 Taylor 展开有 于是有 误差 可表示为如下形式： 令 ，假定 ，对误差 有如下估计：

稳定性推导

考虑模型问题 其中 为常数。定义 为舍入误差，. 我们称差分格式的绝对稳定区域(Absolute Stability Region)为复平面上所有使差分格式的解稳定的 的集合。

向前欧拉格式

将格式代入模型问题可得 考虑到舍入误差，我们有 而非 ： 误差